浅谈自动做市商(AMMs)机制：从Uniswap理解Balancer-掘金网

在去中心化金融(DeFi) 的世界中，去中心化交易所(DEX) 为最重要且最核心的一环。

其中最具代表性的为Uniswap，以一行简洁且优美的数学式作为模型核心，建构出一个全自动的交易市场。

Balancer则可看作广义的Uniswap，赋予Uniswap更大的弹性，让任何人都能在以太坊上打造自己专属的资产配置组合，且还具备自动再平衡的功能！

相对的，Balancer 的数学模型会复杂些，但本质与Uniswap 无太大的差异。

本篇文将从Uniswap 出发，用图解搭配四则运算介绍交易如何发生，再以简化的方式将其推广至Balancer 的做市机制。

Uniswap恒定乘积做市商模型简介

一切从这行简单的公式出发：（以ALT/USD pair 为例）

在没人增加或移除流动性的前提下，池中两边代币总量的乘积为常数

然而上面那句话的叙述其实是错误的，每次只要有人进行交易贡献手续费，k值就随之改变，但改变的幅度极小，因此，为简化讨论以下的计算都先暂时忽略手续费的影响。

交易如何发生？

任何交易的发生都离不开上面那条等式，假设预期买入Δx 个ALT，那会需要花费多少个USD？

买入及卖出会改变池内tokens 的数量

买入ALT 会让池中ALT 的数量减少；付出USD 会让池中的USD 数量增加。

无论如何改变x 或y，池内tokens 数量必须满足前述等式，将其画成图如下，蓝线为双曲线的一支。

在蓝线的限制条件下，给定Δx 就自动决定Δy，反之亦然

所以只要有交易发生，该点就会在蓝线上移动。

成交价格如何决定？

有了Δx 及Δy 后就能算出此笔交易的成交价格：

单位：USD/ALT

例如：買 50 ALT (Δx) 花了 100 USD (Δy)，成交價格就是 100/50 = 2 USD/ALT

由图可观察出，成交价格即为两点相连之直线斜率（取绝对值）。

不同买入量对成交价格的影响

不同的买入量Δx会对应不同的Δy，而产生不一样的价格。
一次买入越多，成交价格就越高（斜线越斜），此即为滑价的成因。

BlackHoleSwap以及Curve皆以神奇的数学或DeFi乐高的堆叠很巧妙的减少了稳定币互换的滑价问题。

现价(Spot Price) 及总资产价值

所谓交易深度夠好，不容易滑價，在DEX中代表流動性佳，正常人一次交易不會改變價格太多，以数学来表示即为Δx << x & Δy << y。所以在Uniswap中我们指的現價就是Δx 非常小時的成交價。

看起来可能有点像是废话，但证明会需用到微分（略）

所以我们只要知道池内USD及ALT的数量就能算出现价，有了现价就可以算出池内总资产：

简单证明了在Uniswap 的流动池中，两种资产永远会保持1:1 ，各占50%。

由上可知，在此类自动做市商模型中，价格是在交易中产生，这点跟挂单搓合式交易有极大的差别。

以台股为例，若市场预期大好，开盘即涨停(+10%)，则唯一能成交的价格就只有涨停价。卖方能一次获得10% 的利润，不会有任何中间的价格成交。

但在Uniswap 中，兼身买方及卖方的流动性提供者会被方程式所限制，必须沿着线一路往上卖，此时无法将利润最大化。但相反来说，若市场大跌也会一路向下买，不用直接面对-10% 的卖单。

Balancer 简介

Balancer 的数学模型看似复杂，但其实能看作一个广义(Generalized) 的Uniswap，只需经过几个步骤的简化就能更直观地去理解其运作的机制。

做市模型

此为Balancer 白皮书的定义：t 为tokens 的种类数；V 为常数：W 为权重，其总和为 1

先将其改写为较为亲民长相，这里先假设这个池子内只有3种资产（即t = 3）

x, y, z 分别为三种资产在池内的数量，k 为常数

次方上的权重W即为该资产在池子内的比例，其总和为1 (100%)。
若将其设为1/3、1/3、1/3，则可再简化方程式：

有没有发现长得越来越像Uniswap！由于k 跟k’ 都为常数，后面所有常数都统一以k 来表示

池中有三种资产，这样怎么交易？

Ans: 先把其中一種遮起來，留下要交易的那兩種即可。

所谓交易就是拿A币换B币。
假设x、y、z分别为ALT、USD、SHIT三种的数量，若我今天打算用USD买入ALT，那整个过程其实跟SHIT的数量没有关系，因此可以将z当成常数合并到k之中，如此一来方程式就变得跟Uniswap完全一样了！

Balancer = Uniswap QED (?

改以图像再次说明这件事情：

三维曲面为函数xyz = k所绘制的图形，绿色为z = const.的平面，两者相交即为双曲线（的一支）

将z 视为常数之后，剩下由x 和y 两个自由度所构成的二维曲线与前述之Uniswap 数学模型完全相同。

可以说Balancer 内其实藏着Uniswap！

再更复杂些：加入更多币种，任意调整权重

实际上Balancer 的运作可以更复杂，例如Hakaa Finance 的流动性挖矿Pool 2，用的就是2% HAKKA + 4% DAI + 4% USDC + 90% BHSc$ 这个配置。

但从前面的说明可以了解到，无论池内有几种币，在做价格计算时仅会用到2 种，其他皆可看作常数。

这边以20/60/10/10 比例的ALT/USD/SHIT1/SHIT2 池来进一步的说明：

若每个币种的配置比例不均等的话，那无法将方程式化简成Uniswap 的形式，会多出一个次方项。

此时可再多做一次转换，重新定义变数，再次化简方程式：

重新定义变数

将y 的3 次方重新定义成Y 之后，最熟悉的Uniswap 又出现了！

这时就能回头套用最初Uniswap 的图：

经过座标转换后，Balancer 跟Uniswap 的数学式相同

接着就能按照前述定义计算成交价：

注：计算价格是以实际付出的token数量去计算，因此分子是Δy而非ΔY

资产配置比例如何影响价格？

有了上述概念后，接着将权重的数字以符号替代，重新再整理一次：

两个币种权重的比值决定价格变化的程度
比较Balancer 与Uniswap 的成交价公式（下式设Uniswap 的y = Y 以便比较）

由上比较可看出，在成交价的计算中Uniswap与Balancer的形式基本相同，唯一的区别只在次方项，且该数值由权重决定。

现价(Spot Price) 及总资产价值

如前所述，知道成交价的计算方式后，只要让Δx << x（即Δx 0）即可求得现价：

将y 对x 做一次微分就能得到现价。单位：USD/ALT

有了现价就能计算出池内各个币种的价值：

池中ALT 的资产价值（单位：USD）
池中总资产价值（单位：USD）

以上计算可证明个别资产 = 总资产 × 权重这个基本的事实。

Aave宣布启动AMM市场，为DeFi带来更多流动性

去中心化借贷协议Aave 于昨日宣布启动AMM（自动化做市商）市场，支持两大AMM 平台的部分LP 代币作为借款抵押品。启动AMM 市场由于LP 代币的风险与单一资产相比更高，因此，AMM 市场的

代表无论池内资产数量如何变化，每个币种的价值都会维持在最初设定的比例。

在Balancer 中打造自己专属的资产配置！

如前所述， Balancer内部的每种资产会固定于初始设定的比例，我想这也是为什么要叫做“Balancer”的原因。

因此我们可以利用此性质，在Balancer 中打造自己专属，且全自动的投资组合！

假设举例来说：
我希望自己Crypto的资产配置能固定为10% DAI + 45% PERP + 45% HAKKA

狀況 1：单纯持有现货，将其放于钱包/交易所
当其中一个币种的价格产生了变化，整体的比例就会失衡，需自行在三个币种之间买卖以调整比例，此动作称为再平衡。
要想一直维持比例必须频繁的执行，且还须精算每个币种要买卖的数量，既麻烦又花时间，还要花额外的手续费。

狀況 2：利用 Balancer 打造自己专属的流动池
若想将上述的流程自动化，则可直接在Balancer 上增加自己专属的流动池，操作介面如下图：

若将锁解开则能任意输入想存入的数量，这代表着自行对池内资产定价。一旦与池外有价差则可能会有机器人大军前来进行套利以平衡价格，将会白白损失部分资产。

建好池后，当其中任一种币的价格产生变化，就会有人前来套利以平衡价格，相当于有人替我执行了再平衡的操作，如此不仅不需花手续费，还会有手续费的收入(Swap fee)。

備註：
Balancer 的router 会自动在现有的池中挑选价格最好的交易，所以套利者不需逐池检查最优价格在哪。

值得特别注意的是，以上说明必须在资金量体足够大时才能被妥善执行，因为要是流动池太浅，会非常容易滑价，滑价代表价格差，则router就会优先让其他深度好的池先被交易，此状况在比例不均的池尤其严重（此点将于下节分析）。

深度不足解决方式有二：

多准备一些钱，让流动池变深。
让别人加入你的池(Shared Pool)，或找现成的池去去增加流动性（那当然就会是跟着对方配置的比例）。

Build Your Own ETFs

「固定资产比例+再平衡」即为市面上大部分ETF 的运作模式。

所以其实任何人都可以很容易用Balancer发行自己专属且指數成分自定義的ETF，LP token即为该ETF的token。

此基金不仅不会有内扣的管理费用，且还会有额外的手续费收入！
（因为不需主动执行再平衡，会有套利者送钱来帮你做。）

滑价(Slippage) 分析

当有人建立了流动池后，任何人就能对其进行交易(Swap)，而身为交易者最关心的就是价格。

本节将简单探讨池子的权重如何影响交易深度。

先来个小测验：

假设有三种Balancer Pool，Liquidity都是100M (USD + HAKKA)权重分别为：
(1) 20/80
(2) 50/50
(3) 80/20

試問：假設我手上有 10M 的 USD 要入場買 HAKKA，哪個比例的池滑價會最小？

答案：(2)50/50 -溢价20%
其他两个分别为：(1) 20/80 -溢价29.67% 
(3) 80/20 -溢价33.08%

在这类Uniswap-like的DEX中，只要任一边的资产数量被大幅度改变，就会对价格造成严重影响。

10M USD入场购买HAKKA ，在20/80池中相当于一次增加池內 50% 的 USD 總量；在80/20池中则等同于于一次買走池內 37.57% 的 HAKKA。所以50/50会是对两边影响皆最小的比例*，因而滑点最小。

此为10M USD 入场买HAKKA 时的滑点图。横坐标为USD 的权重

由图可观察出，比例越极端，滑点越高，这也是为什么当初DAI/YFI的98:2池开挖之后YFI会暴涨的主要原因之一，那时很多人在没研究透彻的情况下直接single-sided add liquidity，或什至直接在Balancer买入YFI，从上图可以看出这种买法会疯狂的拉抬币价，使YFI疯狂的翻倍。

注* 其实理论上滑价最小的比例非刚好50/50，而是会略小于50% (USD)。有兴趣了解计算细节的可以找我讨论！

提醒：
实际交易时，滑点的大小在Balancer 中会以“Price Slippage” 来表示，在Uniswap 中则是写“Price Impact”。

但若以不同的单位（USD/HAKKA或HAKKA/USD）去计算滑价会得到不一样的数值，所以建议在交易时不要看Uniswap或Balancer上Slippage的数字，请直接看它预估的成交价格。

损益(Profit and Loss) 及无常损失(Impermanent Loss) 分析

无常损失不等于币价下跌后总资产的亏损。

假设一个状况：

我看好HAKKA 将来会涨，所以想买入持有，且手上有一笔能拿来投资的资金1,000 USDC

依据个人风险承受能力的不同，每个人的做法会不同。

可能出现的状况如下：

100% 梭哈买入，承担所有大起大落的波动风险。
98% 近乎梭哈买入，仅保留2% 现金。
80% 部分买入，稍微降低些波动风险。
50% 一半买入，预留一半现金，保守投资。

此时手上会有部分HAKKA及部分USDC，这时除了单纯握着现货之外，还能选择将所有资产都投入流动池，池内总资产变化如下图：

在Balancer 中，各种比例的流动池内的总资产变化。

显而易见的，一次买入越多HAKKA，资产变化得越剧烈。
若有预留现金，虽然涨的时候会少赚些，但跌时也会少赔点。

一但投入流动池之后任何人都能前来交易，好处是能获得手续费，但坏处是会有Impemanent Loss，相较于不进池，可能会有额外的损失。

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相较于拿着现货，进池后因价格发生变化而产生的额外损失

50/50 的池会有最大的无常损失，价格变化越多，额外损失越大。

但对于流动性提供者而言，只要交易手续费的收入大于无常损失，那就会比在池外的HODLers 有更高的收益。

所以到底要用什么比例啦！

先简单整理一下以上资讯，以两个极端来举例：

50/50
基本上是最不易滑价格的比例，能提供最稳定的交易，这也是为什么Uniswap使用起来很香的原因，能有最大的交易量及最多的手续费收入，但是会有最大的无常损失。

98/2
几乎没有无常损失，但此交易对非常容易滑价，价格十分不稳定，无法吸引人前来交易，因此交易量势必较小，手续费也因此较少。

这是天秤的两端，需要在两者中做取舍：
无常损失越大，滑价越小；
无常损失越小，滑价越大。

流动性的增加对于一个项目的发展来说是很重要的，好的交易深度能让更多人参与二级市场，因此出现了各种奖励机制吸引大家主动增加流动性。

80/20是个折衷的选项，有不太大的无常损失，同时也具有不错的价格稳定性，此即为Perpetual Protocol选择此以比例作为奖励池的原因。另一方面还能降低投资者的风险，不用梭哈PERP，手中能保有一些现金，降低整体资产的波动率，面面俱到，两全其美。

结论

个人认为Uniswap 及Balancer 等AMMs 的出现是去中心化世界的一大里程碑，能以一条简单的方程式建构出一个全自动且完整的交易系统，再搭配奖励机制（如UNI 或BAL）吸引更多人投入，以正向的循环让整个生态更加完善（两天就破的各种Yield Farming 圈钱泡沫不在此列）。若有兴趣参与这个市场，除了关注商业模式外，多了解运作原理也能避免自己不小心落入陷阱——至少要知道自己如何归零的。

后记

最初是希望能以较直观的方式去解释Balancer的运作原理，再搭配数学一步一步从最基本的关系式，往下推导出后面所有的结果，但实际动笔后发现做不到⋯⋯全部列出来内容会太繁杂，且Medium不支援LaTeX实在很难排版方程式，更重要的是，应该没人想看。所以后半段都只呈现图表及结果，省略了计算过程及数学式，对过程真有兴趣的欢迎找我讨论，有发现任何错误的还不吝告知！

（但其实只要有前半段的数学基础，再搭配一些四则运算就能推出后面所有结果了，有兴趣的可以试试看！）

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